Задание №13 — Уравнения и неравенства

Решение.

Для того чтобы решить неравенство $(x+2)(x-7) > 0$, воспользуемся методом интервалов.

1. Найдём корни уравнения.
Приравняем левую часть неравенства к нулю: $(x+2)(x-7) = 0$.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$x + 2 = 0$ или $x - 7 = 0$.
Отсюда получаем два корня: $x = -2$ и $x = 7$.

2. Отметим корни на числовой прямой.
Так как знак неравенства строгий ($>$), точки на прямой будут «выколотыми» (пустыми), то есть сами числа $-2$ и $7$ не входят в решение.

3. Определим знаки на интервалах.
Числа $-2$ и $7$ разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; -2)$, $(-2; 7)$ и $(7; +\infty)$.
Проверим знак выражения $(x+2)(x-7)$ на каждом из них:
— На интервале $(7; +\infty)$: возьмём $x = 10$. Получим $(10+2)(10-7) = 12 \cdot 3 = 36 > 0$. Ставим знак «плюс».
— На интервале $(-2; 7)$: возьмём $x = 0$. Получим $(0+2)(0-7) = 2 \cdot (-7) = -14 < 0$. Ставим знак «минус».
— На интервале $(-\infty; -2)$: возьмём $x = -5$. Получим $(-5+2)(-5-7) = (-3) \cdot (-12) = 36 > 0$. Ставим знак «плюс».

4. Выберем нужные промежутки.
По условию нам нужно найти значения $x$, при которых выражение больше нуля ($> 0$). Это соответствует интервалам со знаком «плюс»: $(-\infty; -2)$ и $(7; +\infty)$.

Данное решение соответствует варианту под номером 4.

Ответ: 4

Источник: ФИПИ