Задание №13 — Уравнения и неравенства

Решение.

Для того чтобы решить неравенство $25x^2 > 49$, выполним следующие шаги:

1. Перенесём все слагаемые в левую часть неравенства, чтобы справа остался ноль:
$25x^2 - 49 > 0$

2. Разложим левую часть на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Заметим, что $25x^2 = (5x)^2$, а $49 = 7^2$:
$(5x - 7)(5x + 7) > 0$

3. Найдём корни соответствующего уравнения $(5x - 7)(5x + 7) = 0$. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$5x - 7 = 0 \Rightarrow 5x = 7 \Rightarrow x = 1,4$
$5x + 7 = 0 \Rightarrow 5x = -7 \Rightarrow x = -1,4$

4. Эти точки делят числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -1,4)$, $(-1,4; 1,4)$ и $(1,4; +\infty)$. Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($25 > 0$), ветви параболы направлены вверх. Значит, выражение принимает положительные значения на крайних промежутках.

5. Проверим знаки на интервалах подстановкой:
— Если $x = 0$ (из интервала $(-1,4; 1,4)$), то $25 \cdot 0^2 - 49 = -49$. Это меньше нуля, интервал не подходит.
— Если $x = 2$ (из интервала $(1,4; +\infty)$), то $25 \cdot 4 - 49 = 51$. Это больше нуля, интервал подходит.
— Если $x = -2$ (из интервала $(-\infty; -1,4)$), то $25 \cdot (-2)^2 - 49 = 51$. Это больше нуля, интервал подходит.

Таким образом, решением неравенства является объединение промежутков $(-\infty; -1,4) \cup (1,4; +\infty)$. Это соответствует варианту № 2.

Ответ: 2

Источник: ФИПИ