Задание №13 — Уравнения и неравенства

Решение.

Для решения неравенства $25x^{2} \geq 4$ воспользуемся методом интервалов.

1. Перенесём все слагаемые в левую часть неравенства:
$25x^{2} - 4 \geq 0$.

2. Найдём корни соответствующего квадратного уравнения $25x^{2} - 4 = 0$.
Разложим левую часть по формуле разности квадратов $a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)$:
$(5x)^{2} - 2^{2} = 0$,
$(5x - 2)(5x + 2) = 0$.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$5x - 2 = 0 \Rightarrow 5x = 2 \Rightarrow x = \frac{2}{5} = 0,4$;
$5x + 2 = 0 \Rightarrow 5x = -2 \Rightarrow x = -\frac{2}{5} = -0,4$.

3. Отметим полученные точки на числовой прямой. Так как знак неравенства нестрогий ($\geq$), точки будут закрашенными. Эти точки разбивают прямую на три интервала: $(-\infty; -0,4]$, $[-0,4; 0,4]$ и $[0,4; +\infty)$.

4. Определим знаки выражения $25x^{2} - 4$ на каждом интервале. Графиком функции $y = 25x^{2} - 4$ является парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $x^{2}$ положителен, $25 > 0$).
Значит, функция принимает положительные значения на внешних промежутках и отрицательные — на внутреннем между корнями.

5. Нам подходят промежутки, где выражение больше или равно нулю:
$x \leq -0,4$ или $x \geq 0,4$.

На рисунках это соответствует заштрихованным областям слева от $-0,4$ и справа от $0,4$. Данное решение изображено на рисунке под номером 2.

Ответ: 2

Источник: ФИПИ