Задание №19 — Геометрия

Решение.

Разберём каждое утверждение по порядку, чтобы определить его истинность.

1) Любой прямоугольник можно вписать в окружность.
Согласно свойству вписанного четырёхугольника, его можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна $180^{\circ}$. У прямоугольника все углы прямые, то есть равны $90^{\circ}$. Сумма противоположных углов прямоугольника всегда равна $90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$. Следовательно, вокруг любого прямоугольника можно описать окружность. Это утверждение верно.

2) Все углы ромба равны.
По определению ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Однако его углы равны только в том случае, если ромб является квадратом. В общем случае у ромба равны только противоположные углы, а соседние углы в сумме дают $180^{\circ}$. Это утверждение неверно.

3) Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует.
Согласно неравенству треугольника, любая сторона треугольника должна быть меньше суммы двух других его сторон. Проверим это условие для самой большой стороны: $4 < 1 + 2$. Получаем неравенство $4 < 3$, которое является ложным. Значит, треугольник с такими сторонами не существует. Это утверждение неверно.

Таким образом, истинным является только первое утверждение.

Ответ: 1

Источник: ФИПИ