Задание №19 — Геометрия

Решение.

Разберём каждое утверждение по порядку, чтобы определить его истинность или ложность.

1) Тангенс любого острого угла меньше единицы.
Вспомним определение тангенса в прямоугольном треугольнике: это отношение противолежащего катета к прилежащему. Если угол больше $45^{\circ}$, но меньше $90^{\circ}$, то противолежащий катет больше прилежащего, и тангенс будет больше единицы. Например, $\tan 60^{\circ} = \sqrt{3} \approx 1{,}73$, что больше $1$. Значит, это утверждение неверно.

2) Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.
Согласно теореме о средней линии трапеции, она параллельна основаниям и равна их полусумме. Формула выглядит так: $m = \frac{a + b}{2}$, где $a$ и $b$ — основания. Утверждение о том, что она равна просто сумме, неверно.

3) Точка, лежащая на серединном перпендикуляре к отрезку, равноудалена от концов этого отрезка.
Это основное свойство серединного перпендикуляра. Если мы возьмём любую точку на серединном перпендикуляре и соединим её с концами отрезка, то получим два равных прямоугольных треугольника (по двум катетам). Следовательно, гипотенузы этих треугольников (расстояния до концов отрезка) будут равны. Это утверждение верно.

Таким образом, истинным является только третье высказывание.

Ответ: 3

Источник: ФИПИ