Задание №19 — Геометрия

Решение.

Разберём каждое утверждение по порядку, чтобы определить его истинность:

1) Если в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм является квадратом.
Вспомним свойства и признаки четырёхугольников:
— Если в параллелограмме диагонали равны, то такой параллелограмм является прямоугольником.
— Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то такой параллелограмм является ромбом.
Квадрат — это четырёхугольник, который одновременно обладает свойствами и прямоугольника, и ромба. Следовательно, если в параллелограмме диагонали и равны (признак прямоугольника), и перпендикулярны (признак ромба), то он является квадратом. Это утверждение верно.

2) Смежные углы всегда равны.
Согласно свойству смежных углов, их сумма всегда равна $180^\circ$. Они равны между собой только в одном частном случае — когда оба угла прямые (по $90^\circ$). В остальных случаях (например, $30^\circ$ и $150^\circ$) они не равны. Это утверждение неверно.

3) Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его высотой.
В равнобедренном треугольнике только та биссектриса, которая проведена к основанию, является медианой и высотой. Биссектрисы, проведённые к боковым сторонам, не обладают таким свойством (если только треугольник не является равносторонним). Это утверждение неверно.

Таким образом, истинным является только первое утверждение.

Ответ: 1

Источник: ФИПИ