Задание №13 — Уравнения и неравенства

Решение.

Для того чтобы решить квадратное неравенство $49x^{2} \geq 36$, воспользуемся методом интервалов.

1. Перенесём все слагаемые в левую часть неравенства:
$49x^{2} - 36 \geq 0$.

2. Заметим, что в левой части находится разность квадратов, так как $49x^{2} = (7x)^{2}$ и $36 = 6^{2}$. Разложим выражение на множители по формуле $a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)$:
$(7x - 6)(7x + 6) \geq 0$.

3. Найдём корни соответствующего уравнения $(7x - 6)(7x + 6) = 0$. Для этого приравняем каждый множитель к нулю:
$7x - 6 = 0 \implies 7x = 6 \implies x = \frac{6}{7}$;
$7x + 6 = 0 \implies 7x = -6 \implies x = -\frac{6}{7}$.

4. Отметим полученные точки на числовой прямой. Так как знак неравенства нестрогий ($\geq$), точки будут закрашенными. Эти точки разбивают прямую на три интервала: $(-\infty; -\frac{6}{7}]$, $[-\frac{6}{7}; \frac{6}{7}]$ и $[\frac{6}{7}; +\infty)$.

5. Определим знаки выражения на каждом интервале. Графиком функции $f(x) = 49x^{2} - 36$ является парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $x^{2}$ равен $49 > 0$). Значит, функция принимает положительные значения на крайних промежутках и отрицательные — на среднем.

6. Нам подходят промежутки, где выражение больше или равно нулю:
$x \in (-\infty; -\frac{6}{7}] \cup [\frac{6}{7}; +\infty)$.

Этот результат соответствует рисунку под номером 4, где заштрихованы области слева от $-\frac{6}{7}$ и справа от $\frac{6}{7}$.

Ответ: 4

Источник: ФИПИ