Задание №13 — Уравнения и неравенства

Решение.

Проанализируем рисунок. На координатной прямой отмечены точки $-7$ и $7$. Штриховка расположена левее числа $-7$ и правее числа $7$. Это означает, что решением является объединение промежутков $(-\infty; -7) \cup (7; +\infty)$.

Разберём каждое из предложенных неравенств:

1) $x^{2} - 49 > 0$
Найдём корни уравнения $x^{2} - 49 = 0$.
$x^{2} = 49$
$x_{1} = -7$, $x_{2} = 7$.
Графиком функции $y = x^{2} - 49$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Она пересекает ось $x$ в точках $-7$ и $7$. Значения функции положительны ($> 0$) на промежутках «за корнями», то есть при $x < -7$ и $x > 7$. Это в точности соответствует рисунку.

2) $x^{2} - 49 < 0$
Решением этого неравенства является промежуток между корнями: $(-7; 7)$. Это не подходит под наш рисунок.

3) $x^{2} + 49 < 0$
Выражение $x^{2} + 49$ всегда больше нуля, так как квадрат любого числа неотрицателен ($x^{2} \ge 0$), а прибавив $49$, мы получим число не меньше $49$. Следовательно, данное неравенство не имеет решений.

4) $x^{2} + 49 > 0$
Как мы выяснили выше, это неравенство верно при любом значении $x$. Его решением является вся числовая прямая $(-\infty; +\infty)$.

Таким образом, рисунку соответствует неравенство под номером 1.

Ответ: 1

Источник: ФИПИ