Задание №13 — Уравнения и неравенства

Решение.

1) Проанализируем рисунок. На координатной прямой отмечены точки $-7$ и $7$. Заштрихованная область находится между ними, то есть решением является промежуток $[-7; 7]$. Это означает, что значения $x$ удовлетворяют двойному неравенству $-7 \leq x \leq 7$.

2) Рассмотрим предложенные варианты неравенств. Заметим, что в вариантах 2 и 4 выражение $x^{2} + 49$ всегда больше нуля, так как квадрат любого числа — величина неотрицательная ($x^{2} \geq 0$), а прибавлении положительного числа $49$ мы всегда получим результат не меньше $49$.
Следовательно:
— Неравенство $x^{2} + 49 \leq 0$ не имеет решений.
— Неравенство $x^{2} + 49 \geq 0$ верно при любом $x$.

3) Остаются варианты 1 и 3 с выражением $x^{2} - 49$. Найдём корни соответствующего уравнения:
$x^{2} - 49 = 0$
$x^{2} = 49$
$x_{1} = -7$, $x_{2} = 7$.
Эти корни разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; -7)$, $(-7; 7)$ и $(7; +\infty)$.

4) Графиком функции $y = x^{2} - 49$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Это значит, что функция принимает отрицательные значения (график ниже оси $Ox$) между корнями, а положительные — по краям от корней.

5) На рисунке заштрихован именно внутренний промежуток $[-7; 7]$, где функция принимает значения меньше или равные нулю. Это соответствует неравенству:
$x^{2} - 49 \leq 0$.

Таким образом, рисунку соответствует неравенство под номером 1.

Ответ: 1

Источник: ФИПИ