Задание №19 — Геометрия

Решение. Рассмотрим каждое утверждение по порядку, чтобы проверить его истинность.

1) «Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов».
Это утверждение верно. Оно основывается на фундаментальном свойстве геометрии — неравенстве треугольника. Согласно этому правилу, любая сторона треугольника всегда меньше суммы двух других его сторон. Для прямоугольного треугольника это означает, что гипотенуза $c$ всегда меньше суммы катетов $a + b$, то есть $c < a + b$.

2) «Если точка лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от сторон этого угла».
Это утверждение верно. Оно является основным свойством биссектрисы угла. Если мы возьмём любую точку на биссектрисе и опустим из неё перпендикуляры на стороны угла, то длины этих перпендикуляров (расстояния до сторон) будут равны. Это доказывается через равенство прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу.

3) «Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является ромбом».
Это утверждение неверно. Параллелограмм, у которого диагонали равны, является прямоугольником. У ромба же диагонали в общем случае не равны (они равны только в частном случае ромба — квадрате), но они обязательно перпендикулярны и являются биссектрисами его углов.

Таким образом, истинными являются утверждения под номерами 1 и 2.

Ответ: 12

Источник: ФИПИ