Задание №19 — Геометрия

Решение.

Разберём каждое утверждение по порядку, опираясь на геометрические правила и определения.

1) Треугольника со сторонами $1$, $2$, $4$ не существует.
Для того чтобы треугольник существовал, должно выполняться неравенство треугольника: сумма любых двух его сторон должна быть строго больше третьей стороны. Проверим это для сторон $1$, $2$ и $4$:
Сложим две меньшие стороны: $1 + 2 = 3$.
Мы видим, что $3 < 4$. Условие не выполняется, так как сумма двух сторон оказалась меньше третьей. Следовательно, такой треугольник построить невозможно. Утверждение верно.

2) Медиана треугольника делит пополам угол, из вершины которого проведена.
По определению, медиана — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Она делит пополам сторону, а не угол. Угол делит пополам биссектриса. Медиана совпадает с биссектрисой только в частных случаях (например, в равнобедренном треугольнике, если она проведена к основанию). В произвольном треугольнике это свойство не работает. Утверждение неверно.

3) Все диаметры окружности равны между собой.
Диаметр окружности — это хорда, проходящая через её центр. По определению окружности, все её точки равноудалены от центра на расстояние радиуса $R$. Любой диаметр состоит из двух радиусов и равен $2R$. Поскольку радиус одной и той же окружности — величина постоянная, то и все диаметры этой окружности равны между собой. Утверждение верно.

Таким образом, истинными являются утверждения под номерами 1 и 3.

Ответ: 13

Источник: ФИПИ