Задание №19 — Геометрия

Решение. Рассмотрим каждое утверждение по порядку, чтобы определить его истинность.

1) Площадь треугольника меньше произведения двух его сторон.
Вспомним формулу площади треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin \gamma$, где $a$ и $b$ — стороны треугольника, а $\gamma$ — угол между ними.
Так как синус любого угла не может быть больше $1$ ($\sin \gamma \le 1$), а коэффициент перед произведением равен $\frac{1}{2}$, то значение площади $S$ всегда будет меньше, чем произведение $a \cdot b$. Даже для прямоугольного треугольника площадь $S = \frac{1}{2} ab$, что явно меньше $ab$.
Утверждение верно.

2) Угол, вписанный в окружность, равен соответствующему центральному углу, опирающемуся на ту же дугу.
Согласно теореме о вписанном угле, вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Они могут быть равны только в случае, если оба равны $0^\circ$, что невозможно для геометрической фигуры.
Утверждение неверно.

3) Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, перпендикулярную данной.
Это одно из основных свойств геометрии (аксиома/теорема о перпендикуляре): из любой точки, не лежащей на прямой, можно опустить перпендикуляр на эту прямую, и притом только один.
Утверждение верно.

Таким образом, верными являются утверждения под номерами 1 и 3.

Ответ: 13

Источник: ФИПИ