Задание №19 — Геометрия

Решение.

Разберём каждое утверждение по порядку, опираясь на геометрические правила и свойства фигур.

1) Все высоты равностороннего треугольника равны.
В равностороннем треугольнике все стороны равны и все углы равны $60^\circ$. Высота в таком треугольнике вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$, где $a$ — сторона треугольника. Так как все стороны одинаковы, то и все три высоты будут иметь одинаковую длину. Кроме того, в правильном треугольнике высоты являются также медианами и биссектрисами.
Утверждение верно.

2) Угол, вписанный в окружность, равен соответствующему центральному углу, опирающемуся на ту же дугу.
Согласно теореме о вписанном угле, величина вписанного угла равна половине дуги, на которую он опирается. Центральный же угол равен всей величине этой дуги. Таким образом, вписанный угол в два раза меньше центрального угла, опирающегося на ту же дугу ($\angle_{впис} = \frac{1}{2} \angle_{центр}$).
Утверждение неверно.

3) В любой ромб можно вписать окружность.
В четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны. У ромба все четыре стороны равны по определению ($a + a = a + a$), следовательно, это условие всегда выполняется. Центром вписанной окружности в ромбе является точка пересечения его диагоналей.
Утверждение верно.

Таким образом, верными являются утверждения под номерами 1 и 3.

Ответ: 13

Источник: ФИПИ