Задание №19 — Геометрия

Решение.

Разберём каждое утверждение по порядку, опираясь на геометрические правила и определения.

1) «Все диаметры окружности равны между собой».
По определению, диаметр окружности — это хорда, проходящая через её центр. Длина любого диаметра равна двум радиусам ($d = 2r$). Так как в одной окружности все радиусы равны, то и все диаметры также будут равны между собой.
Утверждение верно.

2) «Угол, вписанный в окружность, равен соответствующему центральному углу, опирающемуся на ту же дугу».
Согласно теореме о вписанном угле, величина вписанного угла равна половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Например, если центральный угол равен $60^\circ$, то вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, будет равен $30^\circ$. Они не равны между собой (за исключением случая, когда оба равны $0^\circ$, что не рассматривается в геометрии).
Утверждение неверно.

3) «Любые два равносторонних треугольника подобны».
В равностороннем треугольнике все стороны равны, а все углы всегда равны $60^\circ$. У любых двух равносторонних треугольников соответствующие углы будут равны (все по $60^\circ$). По первому признаку подобия треугольников (по двум углам), такие треугольники всегда подобны.
Утверждение верно.

Таким образом, верными являются утверждения под номерами 1 и 3.

Ответ: 13

Источник: ФИПИ