Задание №19 — Геометрия

Решение. Рассмотрим каждое утверждение по порядку, чтобы определить его истинность.

1) «Существует прямоугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны».
Вспомним определение: квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны. Одно из свойств квадрата гласит, что его диагонали пересекаются под прямым углом (то есть они взаимно перпендикулярны). Поскольку квадрат является частным случаем прямоугольника, такое утверждение верно. Существует как минимум один вид прямоугольника (квадрат), обладающий этим свойством.
Утверждение № 1 — истинно.

2) «Все квадраты имеют равные площади».
Площадь квадрата вычисляется по формуле $S = a^2$, где $a$ — длина его стороны. Очевидно, что квадраты могут иметь разные стороны (например, со стороной $2$ и со стороной $5$). Тогда их площади будут равны $4$ и $25$ соответственно. Площади квадратов равны только в том случае, если равны их стороны.
Утверждение № 2 — ложно.

3) «Один из углов треугольника всегда не превышает 60 градусов».
Сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$. Предположим обратное: что все три угла треугольника больше $60^\circ$. В таком случае их сумма была бы больше, чем $60^\circ + 60^\circ + 60^\circ = 180^\circ$, что невозможно. Следовательно, хотя бы один угол обязан быть меньше или равен $60^\circ$ (не превышать $60^\circ$). Например, в равностороннем треугольнике все углы равны ровно $60^\circ$, а в прямоугольном с углами $30^\circ$ и $60^\circ$ условие также выполняется.
Утверждение № 3 — истинно.

Таким образом, верными являются утверждения под номерами 1 и 3.

Ответ: 13

Источник: ФИПИ