Задание №19 — Геометрия

Решение. Рассмотрим каждое утверждение по порядку, опираясь на свойства геометрических фигур.

1) Существует прямоугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны.
Вспомним определение: прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые. Квадрат является частным случаем прямоугольника (у него все углы прямые и все стороны равны). Одно из свойств квадрата гласит, что его диагонали пересекаются под прямым углом. Следовательно, такой прямоугольник существует — это квадрат. Утверждение верно.

2) Если в ромбе один из углов равен 90 градусам, то этот ромб является квадратом.
Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. У любого параллелограмма противоположные углы равны, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Если один угол ромба равен $90^\circ$, то противоположный ему тоже равен $90^\circ$, и остальные два угла будут равны $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Таким образом, все углы ромба становятся прямыми. Ромб с прямыми углами по определению является квадратом. Утверждение верно.

3) В тупоугольном треугольнике все углы тупые.
Тупым называется угол, величина которого больше $90^\circ$. Мы знаем, что сумма всех углов любого треугольника всегда равна $180^\circ$. Если бы в треугольнике было хотя бы два тупых угла, их сумма уже превысила бы $180^\circ$ ($91^\circ + 91^\circ = 182^\circ$), что невозможно. Поэтому в тупоугольном треугольнике может быть только один тупой угол, а остальные два обязательно будут острыми. Утверждение неверно.

Таким образом, верными являются утверждения под номерами 1 и 2.

Ответ: 12

Источник: ФИПИ