Задание №19 — Геометрия

Решение. Рассмотрим каждое утверждение по порядку, чтобы проверить его истинность.

1) «Все высоты равностороннего треугольника равны».
В равностороннем (правильном) треугольнике все стороны равны и все углы равны $60^\circ$. Каждая высота в таком треугольнике также является медианой и биссектрисой. По формуле высота равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется как $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Так как сторона $a$ одна и та же для всех трёх высот, то и длины всех высот будут одинаковыми.
Утверждение верно.

2) «Существуют три прямые, которые проходят через одну точку».
Через любую точку на плоскости можно провести бесконечно много различных прямых. Следовательно, мы можем провести и три прямые, пересекающиеся в одной общей точке (такие прямые называются конкурентными).
Утверждение верно.

3) «Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является ромбом».
Вспомним свойства четырехугольников. Параллелограмм, у которого диагонали равны, является прямоугольником. Чтобы параллелограмм был ромбом, его диагонали должны быть перпендикулярны, а не обязательно равны. Равенство диагоналей у ромба наблюдается только в частном случае — когда он является квадратом, но в общем виде это утверждение ложно.
Утверждение неверно.

Таким образом, истинными являются утверждения под номерами 1 и 2.

Ответ: 12

Источник: ФИПИ