Задание №19 — Геометрия

Решение.

Разберём каждое утверждение по порядку, опираясь на геометрические определения и свойства фигур.

1) Любые два равносторонних треугольника подобны.
В равностороннем треугольнике все стороны равны, а все углы составляют по $60^{\circ}$. Согласно первому признаку подобия треугольников (по двум углам), если углы одного треугольника соответственно равны углам другого, то такие треугольники подобны. Так как у всех равносторонних треугольников углы всегда равны $60^{\circ}$, они всегда будут подобны друг другу.
Утверждение верно.

2) В любом прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны.
Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. Однако свойство взаимной перпендикулярности диагоналей характерно только для ромба (и квадрата как частного случая ромба). У обычного прямоугольника, не являющегося квадратом, диагонали пересекаются под произвольным углом, отличным от $90^{\circ}$.
Утверждение неверно.

3) Все диаметры окружности равны между собой.
По определению, диаметр окружности — это хорда, проходящая через её центр. Длина любого диаметра равна двум радиусам ($D = 2r$). Поскольку в одной окружности все радиусы равны, то и все диаметры этой окружности будут иметь одинаковую длину.
Утверждение верно.

Таким образом, верными являются утверждения под номерами 1 и 3.

Ответ: 13

Источник: ФИПИ