Задание №19 — Геометрия

Решение.

Разберём каждое утверждение по порядку, чтобы определить его истинность:

1) Один из углов треугольника всегда не превышает $60$ градусов.
Вспомним, что сумма всех углов любого треугольника равна $180^\circ$. Если предположить, что все три угла больше $60^\circ$, то их сумма будет больше, чем $60^\circ \cdot 3 = 180^\circ$, что невозможно. Следовательно, хотя бы один угол обязан быть меньше или равен $60^\circ$. Утверждение верно.

2) Угол, вписанный в окружность, равен соответствующему центральному углу, опирающемуся на ту же дугу.
Согласно теореме о вписанном угле, величина вписанного угла равна половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. То есть вписанный угол в два раза меньше центрального, а не равен ему. Утверждение неверно.

3) Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам.
Прямоугольник является частным случаем параллелограмма. Одно из основных свойств параллелограмма (и, соответственно, прямоугольника) гласит, что его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Утверждение верно.

Таким образом, истинными являются утверждения под номерами 1 и 3.

Ответ: 13

Источник: ФИПИ