Задание №19 — Геометрия

Решение.

Разберём каждое утверждение по порядку, опираясь на геометрические правила и формулы:

1) Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.
Вспомним теорему о средней линии трапеции: средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме. Если основания обозначить как $a$ и $b$, то средняя линия $m = \frac{a + b}{2}$. Утверждение неверно, так как пропущено деление на два.

2) Диагонали ромба перпендикулярны.
Это одно из основных свойств ромба. Поскольку ромб является параллелограммом, у которого все стороны равны, его диагонали не только делятся точкой пересечения пополам, но и пересекаются под прямым углом ($90^{\circ}$). Утверждение верно.

3) Площадь треугольника меньше произведения двух его сторон.
Вспомним формулу площади треугольника через две стороны и угол между ними: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin \alpha$, где $a$ и $b$ — стороны треугольника, а $\alpha$ — угол между ними.
Так как значение синуса любого угла в треугольнике не может превышать $1$ ($\sin \alpha \le 1$), а в формуле присутствует множитель $\frac{1}{2}$, то площадь всегда будет составлять лишь часть от произведения сторон (максимум — половину произведения, если треугольник прямоугольный). Следовательно, площадь треугольника всегда меньше произведения двух его сторон. Утверждение верно.

Таким образом, верными являются утверждения под номерами 2 и 3.

Ответ: 23

Источник: ФИПИ