Задание 19

Анализ геометрических высказываний · 150 заданий

Задание №19
№19Среднее
Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием? 1) Площадь квадрата равна произведению двух его смежных сторон. 2) Диагональ трапеции…
Фигуры и их свойства
Задание №19
№19Среднее
Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием? 1) Все углы ромба равны. 2) Если стороны одного четырёхугольника соответственно равны…
Фигуры и их свойства
Задание №19
№19Сложное
Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием? 1) Всегда один из двух смежных углов острый, а другой тупой. 2) Площадь квадрата равна…
Фигуры и их свойства
Задание №19
№19Среднее
Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием? 1) Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого треугольник…
Фигуры и их свойства
Задание №19
№19Лёгкое
Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием? 1) Все хорды одной окружности равны между собой. 2) Диагональ равнобедренной трапеции…
Фигуры и их свойства
Задание №19
№19Среднее
Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием? 1) Вертикальные углы равны. 2) Две прямые, параллельные третьей прямой, перпендикулярн…
Фигуры и их свойства
Задание №19
№19Лёгкое
Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием? 1) Все квадраты имеют равные площади. 2) Основания равнобедренной трапеции равны. 3) Ч…
Фигуры и их свойства
Задание №19
№19Сложное
Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием? 1) Диагонали параллелограмма равны. 2) Площадь ромба равна произведению его стороны на…
Фигуры и их свойства
Задание №19
№19Сложное
Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием? 1) Все углы ромба равны. 2) Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, прямой.…
Фигуры и их свойства
Задание №19
№19Лёгкое
Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием? 1) Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует. 2) Диагонали ромба точкой пересечения…
Фигуры и их свойства
Задание №19
№19Лёгкое
Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием? 1) В параллелограмме есть два равных угла. 2) В тупоугольном треугольнике все углы туп…
Фигуры и их свойства
Задание №19
№19Среднее
Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием? 1) Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является ромбом. 2) Та…
Фигуры и их свойства

Задание №19 — Геометрия

Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?

1) Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.

2) Диагонали ромба перпендикулярны.

3) Площадь треугольника меньше произведения двух его сторон.

В ответ запишите номера истинных высказываний без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Правильный ответ

Пояснение

Решение.

Разберём каждое утверждение по порядку, опираясь на геометрические правила и формулы:

1) Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.
Вспомним теорему о средней линии трапеции: средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме. Если основания обозначить как $a$ и $b$ , то средняя линия $m = \frac{a + b}{2}$ . Утверждение неверно, так как пропущено деление на два.

2) Диагонали ромба перпендикулярны.
Это одно из основных свойств ромба. Поскольку ромб является параллелограммом, у которого все стороны равны, его диагонали не только делятся точкой пересечения пополам, но и пересекаются под прямым углом ( $90^{\circ}$ ). Утверждение верно.

3) Площадь треугольника меньше произведения двух его сторон.
Вспомним формулу площади треугольника через две стороны и угол между ними: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin \alpha$ , где $a$ и $b$ — стороны треугольника, а $\alpha$ — угол между ними.
Так как значение синуса любого угла в треугольнике не может превышать $1$ ( $\sin \alpha \le 1$ ), а в формуле присутствует множитель $\frac{1}{2}$ , то площадь всегда будет составлять лишь часть от произведения сторон (максимум — половину произведения, если треугольник прямоугольный). Следовательно, площадь треугольника всегда меньше произведения двух его сторон. Утверждение верно.

Таким образом, верными являются утверждения под номерами 2 и 3.

Ответ: 23

Источник: ФИПИ