Задание №19 — Геометрия

Решение. Разберём каждое утверждение по порядку, чтобы определить его истинность.

1) «Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является ромбом».
Вспомним свойства четырёхугольников. Параллелограмм, у которого диагонали равны, является прямоугольником. У ромба же диагонали равны только в том случае, если он одновременно является квадратом, но в общем случае диагонали ромба пересекаются под прямым углом и не равны друг другу. Следовательно, данное утверждение неверно.

2) «Расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра окружности равно радиусу».
Это утверждение следует из самого определения окружности. Окружность — это геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от заданной точки (центра). Это фиксированное расстояние и называется радиусом $R$. Значит, любая точка на окружности удалена от центра ровно на длину радиуса. Утверждение верно.

3) «В любом тупоугольном треугольнике есть острый угол».
Сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$. Тупоугольным называется треугольник, у которого один угол больше $90^\circ$. Если один угол тупой (например, $100^\circ$), то на долю двух оставшихся углов приходится: $180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$. Так как углы треугольника должны быть положительными, каждый из этих двух оставшихся углов обязательно будет меньше $90^\circ$, то есть они будут острыми. На самом деле в тупоугольном треугольнике всегда ровно два острых угла. Утверждение верно.

Таким образом, верными являются утверждения под номерами 2 и 3.

Ответ: 23

Источник: ФИПИ