Задание №19 — Геометрия

Решение. Разберём каждое утверждение по порядку, чтобы определить его истинность.

1) Смежные углы всегда равны.
Вспомним определение: смежные углы — это углы, у которых одна сторона общая, а две другие являются дополнительными лучами. По свойству смежных углов, их сумма всегда равна $180^\circ$. Они могут быть равны только в одном частном случае — если оба угла прямые ($90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$). В остальных случаях (например, $30^\circ$ и $150^\circ$) они не равны. Следовательно, утверждение неверно.

2) Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, перпендикулярную данной.
Согласно одной из основных теорем геометрии, из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить перпендикуляр на эту прямую, и притом только один. Это фундаментальное свойство плоскости. Следовательно, утверждение верно.

3) Любые два равносторонних треугольника подобны.
Треугольники называются подобными, если их углы соответственно равны. В любом равностороннем треугольнике все углы равны между собой и составляют $60^\circ$ (так как $180^\circ : 3 = 60^\circ$). Таким образом, у любых двух равносторонних треугольников все углы будут по $60^\circ$, а значит, они подобны по первому признаку подобия (по двум углам). Следовательно, утверждение верно.

Таким образом, истинными являются утверждения под номерами 2 и 3.

Ответ: 23

Источник: ФИПИ