Задание №16 — Геометрия

Решение.

Для решения задачи воспользуемся свойствами равностороннего (правильного) треугольника. На рисунке изображён равносторонний треугольник, вписанный в окружность.

1. Обозначим сторону равностороннего треугольника как $a$. По условию задачи $a = 8\sqrt{3}$.

2. Существует готовая формула, связывающая радиус описанной окружности $R$ и сторону правильного треугольника $a$:
$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$

3. Подставим известное значение стороны в эту формулу:
$R = \frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

4. Сократим дробь на $\sqrt{3}$:
$R = 8$

Альтернативный способ (через высоту):
Высота $h$ равностороннего треугольника вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
В нашем случае $h = \frac{8\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{8 \cdot 3}{2} = 12$.
Центр описанной окружности правильного треугольника совпадает с точкой пересечения его медиан, которая делит медиану (высоту) в отношении $2:1$, считая от вершины. Значит, радиус $R$ составляет $\frac{2}{3}$ высоты:
$R = \frac{2}{3} \cdot 12 = 8$.

Ответ: 8

Источник: ФИПИ