Задание №17 — Геометрия

Решение. Рассмотрим трапецию с основаниями $a = 1$ и $b = 19$. Пусть средняя линия трапеции пересекается с её диагональю.

1) Средняя линия трапеции по определению соединяет середины боковых сторон и параллельна основаниям. Когда мы проводим диагональ, она разбивает трапецию на два треугольника. При этом средняя линия трапеции также разбивается на два отрезка.

2) Каждый из этих отрезков является средней линией одного из получившихся треугольников. Это происходит потому, что отрезок лежит на средней линии трапеции (то есть проходит через середину боковой стороны и параллелен основанию), а значит, по теореме Фалеса он проходит и через середину диагонали.

3) Вспомним свойство средней линии треугольника: она параллельна стороне треугольника и равна её половине.
— Первый отрезок средней линии трапеции является средней линией треугольника с основанием $a = 1$. Его длина равна: $\frac{1}{2} = 0{,}5$.
— Второй отрезок средней линии трапеции является средней линией треугольника с основанием $b = 19$. Его длина равна: $\frac{19}{2} = 9{,}5$.

4) Нам необходимо найти больший из этих отрезков. Сравнивая полученные значения $0{,}5$ и $9{,}5$, мы видим, что большим является $9{,}5$.

Ответ: 9,5

Источник: ФИПИ