Задание №16 — Геометрия

Решение.

Для решения задачи воспользуемся свойствами равностороннего треугольника. Пусть $a$ — сторона треугольника, а $r$ — радиус вписанной в него окружности.

Шаг 1. Найдём высоту треугольника.
В равностороннем треугольнике высота $h$ вычисляется по формуле:
$h = \frac{a \sqrt{3}}{2}$
Подставим значение стороны $a = 20 \sqrt{3}$:
$h = \frac{20 \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{20 \cdot 3}{2} = \frac{60}{2} = 30$.

Шаг 2. Найдём радиус вписанной окружности.
В равностороннем треугольнике центр вписанной окружности совпадает с точкой пересечения медиан, высот и биссектрис. Известно, что медианы точкой пересечения делятся в отношении $2:1$, считая от вершины.
Следовательно, радиус вписанной окружности $r$ составляет одну третью часть высоты треугольника:
$r = \frac{1}{3} h$

Шаг 3. Вычислим итоговое значение.
Подставим найденное значение высоты $h = 30$:
$r = \frac{1}{3} \cdot 30 = 10$.

Альтернативный способ:
Можно воспользоваться готовой формулой радиуса вписанной окружности для правильного треугольника:
$r = \frac{a}{2 \sqrt{3}}$
Подставим $a = 20 \sqrt{3}$:
$r = \frac{20 \sqrt{3}}{2 \sqrt{3}} = \frac{20}{2} = 10$.

Ответ: 10

Источник: ФИПИ