Задание 16

Окружность и круг · 230 заданий

Задание №16
№16Среднее
Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен 8 √(3). Найдите длину стороны этого треугольника.
Окружность и круг
Задание №16
№16Среднее
Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Найдите угол ABC, если угол BAC равен 30°. Ответ дайте в градусах.
Окружность и круг
Задание №16
№16Лёгкое
Сторона равностороннего треугольника равна 8 √(3). Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Окружность и круг
Задание №16
№16Среднее
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 92°, угол CAD равен 60°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
Окружность и круг
Задание №16
№16Среднее
Сторона равностороннего треугольника равна 20 √(3). Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
Окружность и круг
Задание №16
№16Среднее
Угол A трапеции ABCD с основаниями AD и BC, вписанной в окружность, равен 59°. Найдите угол B этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
Окружность и круг
Задание №16
№16Лёгкое
Сторона равностороннего треугольника равна 18 √(3). Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Окружность и круг
Задание №16
№16Среднее
Сторона квадрата равна 8 √(2). Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.
Окружность и круг
Задание №16
№16Среднее
Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Найдите угол ABC, если угол BAC равен 44°. Ответ дайте в градусах.
Окружность и круг
Задание №16
№16Среднее
Сторона квадрата равна 32 √(2). Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.
Окружность и круг
Задание №16
№16Лёгкое
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 51°, угол CAD равен 42°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
Окружность и круг
Задание №16
№16Сложное
В треугольнике ABC угол C равен 120°, AB = 18 √(3). Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Окружность и круг

Задание №16 — Геометрия

Сторона равностороннего треугольника равна $20 \sqrt{3}$ . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Правильный ответ

Пояснение

Решение.

Для решения задачи воспользуемся свойствами равностороннего треугольника. Пусть $a$ — сторона треугольника, а $r$ — радиус вписанной в него окружности.

Шаг 1. Найдём высоту треугольника.
В равностороннем треугольнике высота $h$ вычисляется по формуле:
$h = \frac{a \sqrt{3}}{2}$
Подставим значение стороны $a = 20 \sqrt{3}$ :
$h = \frac{20 \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{20 \cdot 3}{2} = \frac{60}{2} = 30$ .

Шаг 2. Найдём радиус вписанной окружности.
В равностороннем треугольнике центр вписанной окружности совпадает с точкой пересечения медиан, высот и биссектрис. Известно, что медианы точкой пересечения делятся в отношении $2:1$ , считая от вершины.
Следовательно, радиус вписанной окружности $r$ составляет одну третью часть высоты треугольника:
$r = \frac{1}{3} h$

Шаг 3. Вычислим итоговое значение.
Подставим найденное значение высоты $h = 30$ :
$r = \frac{1}{3} \cdot 30 = 10$ .

Альтернативный способ:
Можно воспользоваться готовой формулой радиуса вписанной окружности для правильного треугольника:
$r = \frac{a}{2 \sqrt{3}}$
Подставим $a = 20 \sqrt{3}$ :
$r = \frac{20 \sqrt{3}}{2 \sqrt{3}} = \frac{20}{2} = 10$ .

Ответ: 10

Источник: ФИПИ