Задание №8 — Алгебраические выражения

Решение.

1. Сначала упростим выражение под корнем. Заметим, что выражение $a^{2} + 8ab + 16b^{2}$ представляет собой квадрат суммы. Вспомним формулу сокращённого умножения: $(x + y)^{2} = x^{2} + 2xy + y^{2}$.

2. В нашем случае:
— первый член это $a^{2}$, то есть $x = a$;
— последний член это $16b^{2} = (4b)^{2}$, то есть $y = 4b$;
— средний член это их удвоенное произведение: $2 \cdot a \cdot 4b = 8ab$, что в точности совпадает с условием.

3. Таким образом, подкоренное выражение сворачивается в квадрат суммы:
$a^{2} + 8ab + 16b^{2} = (a + 4b)^{2}$.

4. Теперь наше исходное выражение принимает вид:
$\sqrt{(a + 4b)^{2}}$.
По свойству корня $\sqrt{x^{2}} = |x|$, значит, нам нужно вычислить значение модуля: $|a + 4b|$.

5. Подставим данные значения $a = 3 \frac{3}{7}$ и $b = \frac{1}{7}$ в выражение под модулем:
Сначала переведём смешанное число $a$ в неправильную дробь: $a = 3 \frac{3}{7} = \frac{3 \cdot 7 + 3}{7} = \frac{24}{7}$.
Теперь вычислим $4b$: $4 \cdot \frac{1}{7} = \frac{4}{7}$.
Сложим полученные значения: $a + 4b = \frac{24}{7} + \frac{4}{7} = \frac{28}{7}$.

6. Сократим дробь: $\frac{28}{7} = 4$.
Так как число 4 положительное, то $|4| = 4$.

Ответ: 4

Источник: ФИПИ