Задание №16 — Геометрия

Решение.

1. На рисунке изображён квадрат, вписанный в окружность. Важно помнить ключевое свойство: центр окружности, описанной около квадрата, совпадает с точкой пересечения его диагоналей. При этом диагональ квадрата является диаметром этой окружности.

2. Пусть $a$ — сторона квадрата, а $d$ — его диагональ. По условию задачи сторона квадрата $a = 8\sqrt{2}$.

3. Найдём диагональ квадрата $d$. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике, образованном двумя сторонами и диагональю квадрата:
$d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$.
Отсюда диагональ $d = a\sqrt{2}$.

4. Подставим значение стороны в формулу диагонали:
$d = 8\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 8 \cdot (\sqrt{2})^2 = 8 \cdot 2 = 16$.

5. Так как диагональ квадрата является диаметром описанной окружности ($d = D$), то радиус $R$ этой окружности равен половине диагонали:
$R = \frac{d}{2} = \frac{16}{2} = 8$.

Ответ: 8

Источник: ФИПИ