Задание №16 — Геометрия

Решение.

1. На рисунке изображён квадрат, вписанный в окружность. По свойству вписанного квадрата, центр описанной окружности совпадает с точкой пересечения его диагоналей. При этом диагональ квадрата является диаметром этой окружности.

2. Пусть $a$ — сторона квадрата, а $d$ — его диагональ. По условию задачи сторона квадрата $a = 32 \sqrt{2}$.

3. Вспомним формулу связи диагонали квадрата с его стороной. Так как диагональ делит квадрат на два прямоугольных равнобедренных треугольника, по теореме Пифагора имеем:
$d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$, откуда $d = a\sqrt{2}$.

4. Подставим известное значение стороны в формулу диагонали:
$d = 32 \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 32 \cdot (\sqrt{2})^2 = 32 \cdot 2 = 64$.

5. Радиус описанной окружности $R$ равен половине диаметра (то есть половине диагонали квадрата):
$R = \frac{d}{2} = \frac{64}{2} = 32$.

Ответ: 32

Источник: ФИПИ