Задание №9 — Уравнения и неравенства

Решение.

Данное уравнение $x^{2} - 6x + 5 = 0$ является полным квадратным уравнением вида $ax^{2} + bx + c = 0$, где коэффициенты равны: $a = 1$, $b = -6$, $c = 5$.

Шаг 1. Найдём дискриминант по формуле $D = b^{2} - 4ac$:
$D = (-6)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня.

Шаг 2. Найдём корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
Вычислим корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{16} = 4$.
Первый корень: $x_{1} = \frac{-(-6) + 4}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 4}{2} = \frac{10}{2} = 5$.
Второй корень: $x_{2} = \frac{-(-6) - 4}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

Заметим, что корни также можно было найти по теореме Виета: сумма корней $x_{1} + x_{2} = 6$, а произведение $x_{1} \cdot x_{2} = 5$. Этим условиям удовлетворяют числа 1 и 5.

Шаг 3. Выбор ответа:
По условию задачи, если уравнение имеет более одного корня, в ответ нужно записать меньший из них. Сравним полученные числа: $1 < 5$. Следовательно, меньший корень равен $1$.

Ответ: 1

Источник: ФИПИ