Задание №8 — Алгебраические выражения

Решение.

Для решения данной задачи воспользуемся свойствами арифметического квадратного корня и степеней. Нам необходимо найти значение выражения $\sqrt{\frac{16 x^{4}}{y^{6}}}$ при заданных значениях переменных.

Шаг 1. Упростим выражение под корнем.
Вспомним свойство корня из частного: корень из дроби равен отношению корней из числителя и знаменателя (при условии, что подкоренные выражения положительны):
$\sqrt{\frac{16 x^{4}}{y^{6}}} = \frac{\sqrt{16 x^{4}}}{\sqrt{y^{6}}}$

Шаг 2. Извлечем корень из числителя и знаменателя.
При извлечении корня из произведения мы извлекаем корень из каждого множителя отдельно. При извлечении корня из степени показатель степени делится на 2:
1) В числителе: $\sqrt{16 x^{4}} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{x^{4}} = 4 \cdot x^{4:2} = 4x^{2}$.
2) В знаменателе: $\sqrt{y^{6}} = y^{6:2} = |y^{3}|$.
Таким образом, выражение принимает вид: $\frac{4x^{2}}{|y^{3}|}$.

Шаг 3. Подставим значения переменных.
По условию задачи $x = 4$ и $y = 2$. Подставим эти числа в упрощенное выражение:
$\frac{4 \cdot 4^{2}}{|2^{3}|}$

Шаг 4. Выполним вычисления.
1) Возведем числа в степени: $4^{2} = 16$ и $2^{3} = 8$.
2) Подставим результаты: $\frac{4 \cdot 16}{8}$.
3) Сократим дробь. Заметим, что $16$ делится на $8$:
$\frac{4 \cdot 16}{8} = 4 \cdot 2 = 8$.

Ответ: 8

Источник: ФИПИ