Задание №8 — Алгебраические выражения

Решение.

1. Сначала внимательно посмотрим на выражение под корнем: $a^{2} + 12ab + 36b^{2}$. Заметим, что оно представляет собой структуру формулы квадрата суммы: $(x + y)^{2} = x^{2} + 2xy + y^{2}$.

2. Проверим это:
— Первое слагаемое: $a^{2}$ — это квадрат числа $a$.
— Последнее слагаемое: $36b^{2}$ — это квадрат выражения $6b$, так как $(6b)^{2} = 36b^{2}$.
— Среднее слагаемое: $12ab$ — это как раз удвоенное произведение первого и второго выражений: $2 \cdot a \cdot 6b = 12ab$.

3. Значит, мы можем свернуть выражение под корнем по формуле:
$a^{2} + 12ab + 36b^{2} = (a + 6b)^{2}$.

4. Теперь наше исходное выражение принимает вид:
$\sqrt{(a + 6b)^{2}}$.

5. Вспомним важное свойство корня: $\sqrt{x^{2}} = |x|$. Применяя его, получаем:
$\sqrt{(a + 6b)^{2}} = |a + 6b|$.

6. Подставим данные по условию значения $a = 7$ и $b = -3$ в полученный модуль:
$|7 + 6 \cdot (-3)| = |7 - 18| = |-11|$.

7. Так как модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному числу, получаем:
$|-11| = 11$.

Ответ: 11

Источник: ФИПИ