Задание №8 — Алгебраические выражения

Решение.

Для решения данной задачи воспользуемся свойствами степеней. Нам необходимо упростить выражение перед тем, как подставлять значения переменных.

1. Сначала преобразуем числитель. При возведении степени в степень показатели перемножаются: $(b^{m})^{n} = b^{m \cdot n}$.
Применим это к множителю $(b^{5})^{4}$:
$(b^{5})^{4} = b^{5 \cdot 4} = b^{20}$.
Теперь числитель выглядит так: $a^{23} \cdot b^{20}$.

2. Теперь преобразуем знаменатель. При возведении произведения в степень каждый множитель возводится в эту степень: $(a \cdot b)^{n} = a^{n} \cdot b^{n}$.
Применим это к знаменателю $(a \cdot b)^{20}$:
$(a \cdot b)^{20} = a^{20} \cdot b^{20}$.

3. Запишем всё выражение целиком с учетом преобразований:
$\frac{a^{23} \cdot b^{20}}{a^{20} \cdot b^{20}}$.

4. Заметим, что в числителе и знаменателе есть одинаковый множитель $b^{20}$. Мы можем сократить дробь на него:
$\frac{a^{23} \cdot b^{20}}{a^{20} \cdot b^{20}} = \frac{a^{23}}{a^{20}}$.

5. При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются: $\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}$.
$\frac{a^{23}}{a^{20}} = a^{23 - 20} = a^{3}$.

6. Мы получили максимально упрощенное выражение: $a^{3}$. Обратите внимание, что значение переменной $b$ нам даже не понадобилось, так как она сократилась.

7. Подставим значение $a = 2$ в полученное выражение:
$2^{3} = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$.

Ответ: 8

Источник: ФИПИ