Задание №8 — Алгебраические выражения

Решение.

Для решения данной задачи сначала упростим алгебраическое выражение, а затем подставим значения переменных.

1. Вспомним свойство корня из дроби: корень из дроби равен корню из числителя, делённому на корень из знаменателя (при условии, что подкоренные выражения положительны):
$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.
Применим это свойство к нашему выражению:
$\sqrt{\frac{36 x^{4}}{y^{2}}} = \frac{\sqrt{36 x^{4}}}{\sqrt{y^{2}}}$.

2. Теперь извлечём корень из числителя и знаменателя по отдельности, используя свойство $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ и правило $\sqrt{a^{2n}} = |a^n|$:
— В числителе: $\sqrt{36 x^{4}} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{(x^{2})^{2}} = 6x^{2}$.
— В знаменателе: $\sqrt{y^{2}} = |y|$.
Так как в задачах такого типа обычно подразумеваются значения, при которых выражение имеет смысл, а итоговый результат должен быть числом, запишем упрощённый вид: $\frac{6x^{2}}{|y|}$.

3. Подставим в полученное выражение значения $x = 6$ и $y = 9$:
$\frac{6 \cdot 6^{2}}{|9|} = \frac{6 \cdot 36}{9}$.

4. Выполним сокращение дроби. Заметим, что $36$ делится на $9$:
$36 : 9 = 4$.
Тогда выражение принимает вид:
$6 \cdot 4 = 24$.

Ответ: 24

Источник: ФИПИ