Задание №8 — Алгебраические выражения

Решение.

Для решения данной задачи воспользуемся формулами сокращённого умножения и свойствами корней.

Шаг 1. Преобразование подкоренного выражения.
Заметим, что выражение под корнем $a^{2} - 6ab + 9b^{2}$ представляет собой квадрат разности. Вспомним формулу: $(x - y)^{2} = x^{2} - 2xy + y^{2}$.
В нашем случае:
$a^{2}$ — это квадрат первого числа $a$;
$9b^{2}$ — это квадрат второго числа $3b$, так как $(3b)^{2} = 9b^{2}$;
$6ab$ — это удвоенное произведение первого и второго чисел: $2 \cdot a \cdot 3b = 6ab$.
Следовательно: $a^{2} - 6ab + 9b^{2} = (a - 3b)^{2}$.

Шаг 2. Упрощение корня.
Теперь подставим полученное выражение обратно в корень: $\sqrt{(a - 3b)^{2}}$.
По свойству арифметического квадратного корня $\sqrt{x^{2}} = |x|$. Значит:
$\sqrt{(a - 3b)^{2}} = |a - 3b|$.

Шаг 3. Подстановка числовых значений.
Подставим в полученный модуль значения $a = 3$ и $b = 6$:
$|3 - 3 \cdot 6| = |3 - 18| = |-15|$.

Шаг 4. Вычисление модуля.
Модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному числу:
$|-15| = 15$.

Ответ: 15

Источник: ФИПИ