Задание №16 — Геометрия

Решение.

1. Для начала вспомним связь между квадратом и описанной около него окружностью. Центр описанной окружности квадрата лежит в точке пересечения его диагоналей. Это означает, что диагональ квадрата является диаметром этой окружности.

2. Пусть $R$ — радиус описанной окружности, а $d$ — диагональ квадрата. Тогда диаметр окружности равен двум радиусам:
$d = 2R$.

3. По условию задачи радиус $R = 4\sqrt{2}$. Вычислим длину диагонали:
$d = 2 \cdot 4\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$.

4. Теперь свяжем диагональ квадрата с его стороной. Пусть сторона квадрата равна $a$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный двумя сторонами квадрата и его диагональю. По теореме Пифагора:
$a^2 + a^2 = d^2$
$2a^2 = d^2$.

5. Подставим известное значение диагонали $d = 8\sqrt{2}$ в уравнение:
$2a^2 = (8\sqrt{2})^2$
$2a^2 = 64 \cdot 2$
$2a^2 = 128$.

6. Разделим обе части уравнения на $2$:
$a^2 = 64$.

7. Извлечем квадратный корень, чтобы найти сторону квадрата:
$a = \sqrt{64} = 8$.

Ответ: 8

Источник: ФИПИ