Задание №17 — Геометрия

Решение.

1) Рассмотрим свойства прямоугольника. Мы знаем, что диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. Это означает, что точка пересечения диагоналей разбивает их на четыре равных отрезка.

2) Пусть точка $O$ — точка пересечения диагоналей. Рассмотрим треугольник, образованный меньшей стороной прямоугольника и половинами диагоналей. Так как половины диагоналей равны, этот треугольник является равнобедренным.

3) По условию задачи диагональ образует с одной из сторон угол $51^\circ$. Пусть это будет угол между диагональю и большей стороной прямоугольника. Тогда в равнобедренном треугольнике, боковыми сторонами которого являются половины диагоналей, углы при основании будут равны по $51^\circ$.

4) Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Найдём угол при вершине $O$ этого треугольника (это один из углов между диагоналями):
$180^\circ - (51^\circ + 51^\circ) = 180^\circ - 102^\circ = 78^\circ$.

5) Мы получили угол $78^\circ$. Второй угол между диагоналями является смежным с ним и равен $180^\circ - 78^\circ = 102^\circ$. Так как в задаче требуется найти острый угол между диагоналями, выбираем меньшее значение.

Число $78$ меньше $90$, следовательно, этот угол является острым.

Ответ: 78

Источник: ФИПИ