Задание №16 — Геометрия

Решение.

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами вписанных углов и углов, опирающихся на диаметр окружности.

1) Рассмотрим треугольник $ANB$. По условию $AB$ — диаметр окружности. Вспомним важное свойство: вписанный угол, опирающийся на диаметр, является прямым. Значит, $\angle ANB = 90^\circ$.

2) В треугольнике $ANB$ нам известны два угла: $\angle ANB = 90^\circ$ и $\angle NBA = 48^\circ$ (по условию). Сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$. Найдём третий угол этого треугольника — $\angle NAB$:
$\angle NAB = 180^\circ - (\angle ANB + \angle NBA) = 180^\circ - (90^\circ + 48^\circ) = 180^\circ - 138^\circ = 42^\circ$.

3) Теперь обратим внимание на углы $\angle NAB$ и $\angle NMB$. Оба этих угла являются вписанными в одну и ту же окружность и опираются на одну и ту же дугу $NB$.

4) По свойству вписанных углов: вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой. Следовательно:
$\angle NMB = \angle NAB = 42^\circ$.

Таким образом, искомый угол равен $42^\circ$.

Ответ: 42

Источник: ФИПИ