Задание №17 — Геометрия

Решение.

1. Рассмотрим трапецию с основаниями $a = 1$ и $b = 17$. Пусть средняя линия трапеции пересекается с её диагональю. На рисунке видно, что диагональ делит среднюю линию на два отрезка.

2. Вспомним определение средней линии трапеции: это отрезок, соединяющий середины боковых сторон. По свойству средней линии, она параллельна основаниям трапеции.

3. Диагональ разбивает трапецию на два треугольника. Рассмотрим тот треугольник, основанием которого является большее основание трапеции $b = 17$. Отрезок средней линии, лежащий внутри этого треугольника, соединяет середину боковой стороны трапеции с точкой на диагонали. Так как средняя линия параллельна основанию, то по теореме Фалеса этот отрезок также проходит через середину диагонали. Следовательно, этот отрезок является средней линией треугольника.

4. По свойству средней линии треугольника, она равна половине стороны, которой она параллельна. Таким образом, длина первого отрезка средней линии трапеции равна:
$m_1 = \frac{b}{2} = \frac{17}{2} = 8{,}5$.

5. Аналогично рассмотрим второй треугольник, основанием которого является меньшее основание трапеции $a = 1$. Отрезок средней линии в этом треугольнике также является его средней линией и равен:
$m_2 = \frac{a}{2} = \frac{1}{2} = 0{,}5$.

6. Нам необходимо найти больший из этих отрезков. Сравнивая полученные значения $8{,}5$ и $0{,}5$, выбираем наибольшее.

Ответ: 8,5

Источник: ФИПИ