Задание №17 — Геометрия

Решение.

Для решения задачи воспользуемся свойствами ромба и формулой его площади.

1. Найдём сторону ромба.
Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Периметр ромба $P$ вычисляется по формуле $P = 4a$, где $a$ — длина его стороны. По условию задачи $P = 36$. Следовательно:
$a = 36 : 4 = 9$.

2. Выберем формулу площади.
Площадь ромба можно найти через две его стороны и синус угла между ними. Так как у ромба все стороны равны $a$, формула принимает вид:
$S = a^2 \cdot \sin(\alpha)$,
где $\alpha$ — угол ромба.

3. Вычислим площадь.
Нам известно, что сторона $a = 9$, а один из углов $\alpha = 30^\circ$.
Вспомним значение синуса: $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2} = 0{,}5$.
Подставим значения в формулу:
$S = 9^2 \cdot \sin(30^\circ)$
$S = 81 \cdot 0{,}5$
$S = 40{,}5$.

Альтернативный способ (через высоту):
Если провести высоту $h$ из вершины тупого угла к стороне ромба, получится прямоугольный треугольник. В нём высота лежит против угла в $30^\circ$, значит, она равна половине гипотенузы (стороны ромба): $h = \frac{9}{2} = 4{,}5$.
Тогда площадь $S = a \cdot h = 9 \cdot 4{,}5 = 40{,}5$.

Ответ: 40,5

Источник: ФИПИ