Задание №14 — Числовые последовательности

Решение.

Данная задача описывает геометрическую прогрессию, так как высота каждого следующего прыжка изменяется в одно и то же количество раз по сравнению с предыдущим.

1. Выпишем известные данные:
Высота после первого прыжка: $b_1 = 3,6$ м.
Знаменатель прогрессии (так как высота уменьшается в 3 раза): $q = \frac{1}{3}$.
Нам нужно найти номер прыжка $n$, при котором высота $b_n$ станет меньше 15 см.

2. Приведем все величины к единым единицам измерения. Переведем метры в сантиметры:
$b_1 = 3,6 \text{ м} = 360 \text{ см}$.

3. Вспомним формулу $n$-го члена геометрической прогрессии:
$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Нам нужно найти наименьшее целое $n$, при котором выполняется неравенство:
$360 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} < 15$.

4. Решим это неравенство пошагово, вычисляя высоту для каждого прыжка:
— 1-й прыжок: $b_1 = 360$ см.
— 2-й прыжок: $b_2 = 360 : 3 = 120$ см.
— 3-й прыжок: $b_3 = 120 : 3 = 40$ см.
— 4-й прыжок: $b_4 = 40 : 3 = 13\frac{1}{3}$ см (или примерно $13,33$ см).

5. Сравним полученные значения с пороговым значением 15 см:
При 3-м прыжке высота $40 > 15$.
При 4-м прыжке высота $13,33 < 15$.

Таким образом, именно при 4-м прыжке мячик впервые не достигнет высоты 15 см.

Ответ: 4

Источник: ФИПИ