Задание №16 — Геометрия

Решение.

1) По условию задачи центр описанной окружности лежит на стороне $A B$ треугольника $A B C$. Это означает, что сторона $A B$ является диаметром этой окружности.

2) Вспомним важное свойство геометрии: вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, является прямым. Угол $C$ (или $\angle ACB$) опирается на дугу, стягиваемую диаметром $A B$, следовательно, $\angle ACB = 90^{\circ}$. Значит, треугольник $A B C$ — прямоугольный с гипотенузой $A B$.

3) Найдём длину гипотенузы $A B$. Так как $A B$ — диаметр, а радиус окружности $R = 6,5$, то:
$A B = 2 \cdot R = 2 \cdot 6,5 = 13$.

4) Теперь нам известны гипотенуза $A B = 13$ и катет $B C = 12$. Чтобы найти второй катет $A C$, воспользуемся теоремой Пифагора:
$A C^{2} + B C^{2} = A B^{2}$.

5) Подставим известные значения в формулу:
$A C^{2} + 12^{2} = 13^{2}$
$A C^{2} + 144 = 169$
$A C^{2} = 169 - 144$
$A C^{2} = 25$
$A C = \sqrt{25} = 5$.

Ответ: 5

Источник: ФИПИ