Задание №16 — Геометрия

Решение.

1. Вспомним связь между квадратом и описанной около него окружностью. Центр описанной окружности квадрата лежит в точке пересечения его диагоналей. При этом диаметр описанной окружности равен диагонали квадрата.

2. Пусть $R$ — радиус описанной окружности, а $d$ — диагональ квадрата. Тогда диагональ вычисляется по формуле:
$d = 2 \cdot R$.
Подставим известное значение радиуса $R = 18 \sqrt{2}$:
$d = 2 \cdot 18 \sqrt{2} = 36 \sqrt{2}$.

3. Теперь найдём сторону квадрата. Пусть $a$ — сторона квадрата. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного двумя сторонами и диагональю квадрата, справедливо соотношение:
$a^2 + a^2 = d^2$,
$2a^2 = d^2$.
Отсюда выразим сторону через диагональ:
$a = \frac{d}{\sqrt{2}}$.

4. Подставим найденное значение диагонали $d = 36 \sqrt{2}$ в формулу для стороны:
$a = \frac{36 \sqrt{2}}{\sqrt{2}}$.
Сократив на $\sqrt{2}$, получаем:
$a = 36$.

Ответ: 36

Источник: ФИПИ