Задание №16 — Геометрия

Решение.

1. Рассмотрим связь между радиусом вписанной окружности и стороной квадрата. На рисунке видно, что окружность касается всех сторон квадрата. Это означает, что диаметр вписанной окружности равен стороне квадрата. Обозначим сторону квадрата как $a$, а радиус вписанной окружности как $r$.
Тогда: $a = 2r$.

2. Подставим известное значение радиуса $r = 14\sqrt{2}$ в формулу для нахождения стороны квадрата:
$a = 2 \cdot 14\sqrt{2} = 28\sqrt{2}$.

3. Теперь найдём диагональ квадрата. Обозначим диагональ как $d$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного двумя сторонами и диагональю квадрата:
$d^2 = a^2 + a^2$
$d^2 = 2a^2$
Отсюда диагональ квадрата выражается через его сторону формулой: $d = a\sqrt{2}$.

4. Подставим найденное значение стороны $a = 28\sqrt{2}$ в формулу диагонали:
$d = 28\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}$.

5. Выполним вычисления. Так как $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$, получаем:
$d = 28 \cdot 2 = 56$.

Ответ: 56

Источник: ФИПИ