Задание №16 — Геометрия

Решение.

1) Рассмотрим углы при центре окружности. По условию $AC$ и $BD$ — диаметры, которые пересекаются в точке $O$. Углы $\angle AOD$ и $\angle BOC$ являются вертикальными. Как известно, вертикальные углы равны, следовательно:
$\angle BOC = \angle AOD = 148^\circ$.

2) Теперь рассмотрим треугольник $BOC$. Отрезки $OB$ и $OC$ являются радиусами окружности, так как они соединяют центр $O$ с точками на окружности. Значит, $OB = OC$.

3) Поскольку две стороны треугольника $BOC$ равны, этот треугольник является равнобедренным с основанием $BC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть:
$\angle OCB = \angle OBC$.

4) Сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$. Для треугольника $BOC$ запишем:
$\angle BOC + \angle OCB + \angle OBC = 180^\circ$.

5) Подставим известные значения и обозначим искомый угол $\angle ACB$ (который совпадает с $\angle OCB$) за $x$:
$148^\circ + x + x = 180^\circ$;
$2x = 180^\circ - 148^\circ$;
$2x = 32^\circ$;
$x = 32^\circ : 2$;
$x = 16^\circ$.

Таким образом, угол $\angle ACB = 16^\circ$.

Ответ: 16

Источник: ФИПИ