Задание №14 — Числовые последовательности

Решение.

По условию задачи количество мест в рядах амфитеатра увеличивается на одно и то же число. Это означает, что последовательность количества мест в рядах является арифметической прогрессией.

Обозначим через $a_n$ количество мест в $n$-м ряду, а через $d$ — разность этой прогрессии (то есть число, на которое увеличивается количество мест в каждом следующем ряду).

Нам известны следующие данные:
1) В пятом ряду 27 мест: $a_5 = 27$.
2) В восьмом ряду 36 мест: $a_8 = 36$.
3) Всего в амфитеатре 14 рядов. Нам нужно найти количество мест в последнем (четырнадцатом) ряду, то есть $a_{14}$.

Шаг 1. Найдем разность прогрессии $d$.
Воспользуемся формулой $n$-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d$.
Запишем выражения для пятого и восьмого рядов:
$a_5 = a_1 + 4d = 27$
$a_8 = a_1 + 7d = 36$

Вычтем из второго уравнения первое:
$(a_1 + 7d) - (a_1 + 4d) = 36 - 27$
$3d = 9$
$d = 9 : 3$
$d = 3$
Значит, в каждом следующем ряду на 3 места больше, чем в предыдущем.

Шаг 2. Найдем количество мест в четырнадцатом ряду.
Мы можем найти $a_{14}$, зная $a_8$ и разность $d$. Между 8-м и 14-м рядами разница составляет $14 - 8 = 6$ шагов.
Воспользуемся формулой: $a_{14} = a_8 + (14 - 8) \cdot d$.
Подставим известные значения:
$a_{14} = 36 + 6 \cdot 3$
$a_{14} = 36 + 18$
$a_{14} = 54$

Таким образом, в последнем ряду амфитеатра 54 места.

Ответ: 54

Источник: ФИПИ