Задание №14 — Числовые последовательности

Решение.

Высота каждого последующего прыжка мячика уменьшается в одно и то же количество раз. Это означает, что высоты прыжков образуют геометрическую прогрессию $(b_n)$, где $n$ — номер прыжка.

1) Выпишем известные данные:
Первый прыжок: $b_1 = 4$ м.
Знаменатель прогрессии: $q = \frac{1}{2} = 0,5$ (так как высота каждый раз уменьшается в два раза).
Нам нужно найти номер прыжка $n$, при котором высота $b_n$ станет меньше 20 см.

2) Приведем все величины к одной единице измерения. Переведем 20 см в метры:
$20 \text{ см} = 0,2$ м.

3) Вспомним формулу $n$-го члена геометрической прогрессии:
$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$

4) Нам нужно решить неравенство $b_n < 0,2$. Будем последовательно вычислять высоту каждого прыжка, пока не получим значение меньше 0,2:
• 1-й прыжок: $b_1 = 4$ м.
• 2-й прыжок: $b_2 = 4 \cdot 0,5 = 2$ м.
• 3-й прыжок: $b_3 = 2 \cdot 0,5 = 1$ м.
• 4-й прыжок: $b_4 = 1 \cdot 0,5 = 0,5$ м.
• 5-й прыжок: $b_5 = 0,5 \cdot 0,5 = 0,25$ м.
• 6-й прыжок: $b_6 = 0,25 \cdot 0,5 = 0,125$ м.

5) Сравним полученные результаты с пороговым значением 0,2 м:
На 5-м прыжке высота $0,25 > 0,2$.
На 6-м прыжке высота $0,125 < 0,2$.

Следовательно, именно при 6-м прыжке мячик впервые не достигнет высоты 20 см.

Ответ: 6

Источник: ФИПИ