Задание №17 — Геометрия

Решение.

1) Пусть $CH$ — высота равнобедренной трапеции $ABCD$, проведённая из вершины $C$ к большему основанию $AD$. По условию задачи точка $H$ делит основание $AD$ на два отрезка. Глядя на чертёж, мы видим, что отрезок $HD$ является меньшим из них, так как он прилежит к острому углу при основании. Следовательно, $HD = 3$, а $AH = 11$.

2) Проведём вторую высоту $BK$ из вершины $B$ к основанию $AD$. В равнобедренной трапеции высоты, опущенные из вершин малого основания на большое, отсекают равные прямоугольные треугольники ($\triangle ABK = \triangle DCH$). Это происходит потому, что боковые стороны равны ($AB = CD$) и углы при основании равны ($\angle A = \angle D$).

3) Из равенства треугольников следует равенство отрезков: $AK = HD = 3$.

4) Теперь рассмотрим отрезок $AH$. Мы знаем, что $AH = 11$. Также по рисунку видно, что $AH = AK + KH$. Подставим известные значения:
$11 = 3 + KH$, откуда $KH = 11 - 3 = 8$.

5) Четырёхугольник $KBCH$ является прямоугольником (так как $BC \parallel KH$ и $BK \perp AD$, $CH \perp AD$). У прямоугольника противоположные стороны равны, значит, верхнее основание $BC$ равно отрезку $KH$:
$BC = KH = 8$.

Ответ: 8

Источник: ФИПИ