Задание №16 — Геометрия

Решение.

1. На рисунке изображён квадрат, вписанный в окружность. Вспомним важное свойство: центр окружности, описанной около квадрата, совпадает с точкой пересечения его диагоналей. При этом диагональ квадрата является диаметром этой окружности.

2. Обозначим радиус окружности как $R$, а сторону квадрата как $a$. По условию задачи радиус $R = 34 \sqrt{2}$.

3. Так как диагональ квадрата $d$ является диаметром окружности, она в два раза больше радиуса:
$d = 2 \cdot R = 2 \cdot 34 \sqrt{2} = 68 \sqrt{2}$.

4. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный двумя сторонами квадрата и его диагональю. По теореме Пифагора:
$a^2 + a^2 = d^2$
$2a^2 = d^2$
Отсюда выразим сторону квадрата через диагональ:
$a^2 = \frac{d^2}{2}$
$a = \frac{d}{\sqrt{2}}$

5. Подставим известное значение диагонали в полученную формулу:
$a = \frac{68 \sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

6. Сократим дробь на $\sqrt{2}$:
$a = 68$

Таким образом, длина стороны квадрата равна 68.

Ответ: 68

Источник: ФИПИ