Задание №17 — Геометрия

Решение.

1) Пусть $CH$ — высота равнобедренной трапеции $ABCD$, проведённая из вершины $C$ к большему основанию $AD$. По условию задачи высота делит основание $AD$ на два отрезка. На рисунке видно, что точка $H$ лежит ближе к вершине $D$, следовательно, меньший отрезок $HD = 14 - 11 = 3$ быть не может, так как по свойству равнобедренной трапеции высота, опущенная из тупого угла, делит основание на отрезки, один из которых равен полуразности оснований, а другой — полусумме. Исходя из чертежа и условия, отрезок $AH = 11$, а отрезок $HD = 14$ (или наоборот, в зависимости от того, какой отрезок считается отсекаемым высотой). Однако в равнобедренной трапеции существует важное свойство.

2) Проведём вторую высоту $BK$ из вершины $B$ к основанию $AD$. Так как трапеция равнобедренная ($AB = CD$), прямоугольные треугольники $ABK$ и $DCH$ равны по гипотенузе и катету. Следовательно, отрезки $AK$ и $HD$ равны между собой: $AK = HD$.

3) Отрезок $KH$ равен длине меньшего основания $BC$, так как $KBC H$ — прямоугольник (противоположные стороны равны). Тогда основание $AD$ можно представить как сумму: $AD = AK + KH + HD$.

4) Согласно свойству равнобедренной трапеции, высота $CH$ делит основание $AD$ на отрезки $HD = \frac{AD - BC}{2}$ и $AH = \frac{AD + BC}{2}$. Из условия нам даны длины этих отрезков: один равен 11, другой равен 14. Так как $AH$ — это большая часть основания (сумма отрезков $AK$ и $KH$), то $AH = 14$, а $HD = 11$.

5) Воспользуемся формулой для большего отрезка: $AH = \frac{AD + BC}{2}$. Но проще заметить, что $AH = AK + KH$. Поскольку $AK = HD = 11$, а $KH = BC$, получаем: $14 = 11 + BC$.

6) Вычислим длину $BC$: $BC = 14 - 11 = 3$.

Ответ: 3

Источник: ФИПИ