Задание №8 — Алгебраические выражения

Решение.

Для решения данной задачи воспользуемся свойствами квадратного корня и степеней. Нам необходимо найти значение выражения $\sqrt{\frac{1}{16} \cdot x^{10} y^{2}}$ при заданных значениях переменных.

Шаг 1. Упростим выражение под корнем.
Вспомним свойство корня из произведения: корень из произведения нескольких неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей. То есть:
$\sqrt{a \cdot b \cdot c} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \cdot \sqrt{c}$.
Применим это к нашему выражению:
$\sqrt{\frac{1}{16} \cdot x^{10} y^{2}} = \sqrt{\frac{1}{16}} \cdot \sqrt{x^{10}} \cdot \sqrt{y^{2}}$.

Шаг 2. Извлечём корни из каждого множителя.
1) $\sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}$, так как $(\frac{1}{4})^{2} = \frac{1}{16}$.
2) Чтобы извлечь корень из степени, нужно показатель степени разделить на 2: $\sqrt{x^{10}} = x^{10:2} = x^{5}$.
3) Аналогично для $y$: $\sqrt{y^{2}} = |y|$. Так как по условию $y = 3$ (положительное число), то $\sqrt{y^{2}} = y$.
Таким образом, упрощённое выражение выглядит так: $\frac{1}{4} \cdot x^{5} \cdot y$.

Шаг 3. Подставим значения $x = 2$ и $y = 3$ в полученное выражение.
$\frac{1}{4} \cdot 2^{5} \cdot 3$.

Шаг 4. Выполним вычисления.
1) Возведём 2 в пятую степень: $2^{5} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$.
2) Подставим результат: $\frac{1}{4} \cdot 32 \cdot 3$.
3) Сократим 32 и 4: $\frac{32}{4} = 8$.
4) Перемножим оставшиеся числа: $8 \cdot 3 = 24$.

Ответ: 24

Источник: ФИПИ